تعریف نیرو:نیرو بر هم کنش )تاثیر متقابل ) دو جسم بر یکدیگر است که این بر هم کنش میتواند از راه تماس مستقیم باشد

دردینامیک علت حرکت یا سکون جسم تحت تاثیر نیروهای وارد بر آن بررسی میشود. تعریف نیرو:نیرو بر هم کنش )تاثیر متقابل ) دو جسم بر یکدیگر است که این بر هم کنش میتواند از راه تماس مستقیم باشد مانند اصطکاک یا نیروی کشسانی فنر یا کشش نخ ویا می تواند از راه دور)نیروهای میدانی ) باشد مانند نیروی گرانش نیروی الکتریکی بین دو ذره باردار. نیرو یک کمیت برداری است و یکای آن نیوتن است. توجه:نیروها بر اساس منشآ آنها به چهار دسته تقسیم می شوند: 1 -نیروهای گرانشی:همه اجسام این نیرو را به هم وارد می کنند که اگر یکی از جرمها بزرگ باشد این نیرو مقدار قابل توجهی دارد مانند وزن. 2 -نیروهای الکترومغناطیسی:نیروی بین داریم الکترومغناطیسی هستند. بارهای الکتریکی می باشد.به جز وزن تمام نیرو های محسوسی که با آنها سروکار 3 -نیروهای هسته ای قوی:عامل هم بستگی اجزای درون هسته است و مانع فروپاشی هسته در اثر نیروی دافعه الکتریکی بین پروتونها می شود. 4 -نیروی هسته ای ضعیف:این نیرو بین ذران بنیادی داخل هسته وجود دارد و در واپاشی هسته های ناپایدار نقش مهمی دارد. نیروی گرانشی < نیروی هسته ای ضعیف < نیروی الکترومغناطیسی < نیروی هسته ای قوی قوانین نیوتون در حرکت: قانون اول نیوتون:اگر بر جسمی نیرو وارد نشود یا برآیند نیروهای وارد بر آن صفر باشد اگر جسم ساکن باشد ساکن می ماند و اگر در حال حرکت باشد به حرکت خود بطور یکنواخت روی خط راست ادامه می دهد.به عبارتی " اجسام تمایل دارند حالت سکون یا حرکت یکنواخت خود را حفظ کنند مگر اینکه بر آیند نیروهای وارد بر آنها صفر نباشد" تعریف لختی:تمایل اجسام به حفظ حالت سکون یا حرکت یکنواخت لختی نام دارد. نکته:طبق قانون اول نیوتون شرط حرکت یکنواخت یا تعادل یا آستانه حرکت بودن جسم این است که برآیند نیروهای وارد بر آن صفر باشد. 1

مثال-در شکل مقابل طناب پایینی را یک با رآرام آرام و بار دیگر به سرعت می کشیم.در هر بار احتمال پاره شدن طناب از کدام نقطه بیشتر است قانون دوم نیوتون:اگر بر جسمی نیرو وارد شود )برآیند نیروها صفر نباشد(جسم شتابی پیدا می کند که متناسب با نیرو و هم جهت با آن است و با جرم جسم نسبت عکس دارد: مثال-سه نیروی 8 و 6 و 12 نیوتون با هم بر جسمی به جرم 4Kg وارد می شوند و جسم ساکن است.اگر نیروی 6 نیوتنی حذف شود جسم با چه شتابی حرکت می کند )ریاضی 84( مثال-نیروی F به جرم m 1 شتاب aو 1 به جرم m 2 شتاب aمی 2 دهد.این نیرو به جرم m 1 +m 2 چه شتابی می دهد 1/8 می دهد. F چند نیوتون است 2 و به جرم 5+m شتاب مثال-نیروی F به جرم m شتاب 2

قانون سوم نیوتون:اگر جسم 1 کند.این نیروها عمل و عکس العمل یا کنش و واکنش نام دارند: نیرویی را به جسم 2 وارد کند جسم 2 نیز همان نیرو ولی خالف جهت آنرا به جسم 1 وارد می ویژگیهای نیروهای کنش و واکنش: 1 -این دو نیرو هم اندازه و هم راستا و خالف سوی هم هستند. 2 -هردو هم نوع هستند مثال هردو گرانشی یا هر دو الکتریکی هستند. 3 -هر دو به یک جسم وارد نمی شوند بلکه کنش به یک جسم و واکنش به جسم دوم وارد می شود پس برآیند این دو نیرو صفر نیست. نکته:اگر یک یا چند نیرو به بیش از یک جسم وارد شوند شتاب حرکت مجموعه از رابطه زیر بدست می آید: مثال-در شکل مقابل :الف-شتاب حرکت وزنه ها و نیرویی که وزنه ها بهم وارد می کنند چقدر است ب-اگر جای وزنه ها عوض شود شتاب حرکت وزنه ها و نیرویی که به هم وارد می کنند چگونه تغییر می کند 3

مثال-در شکل مقابل نیرویی که وزنه ی بر m 2 m 3 وارد می کند چقدر است )تجربی 81( مثال-در شکل مقابل برآیند نیروهای وارد بر جسم 3 کیلوگرمی چند نیوتون است مثال- در شکل مقابل نیرویی که وزنه ها به هم وارد می کنند چقدر است 4

مثال- )ریاضی 33( قانون گرانش عمومی نیوتون:نیروی گرانشی که دو جسم به هم وارد می کنند با حاصلضرب جرم آنها مجذور فاصله آنها از هم نسبت عکس دارد: نسبت مستقیم و با وزن یک جسم در سطح زمین:برابر است با نیروی گرانشی که از طرف زمین بر جسم وارد می شود: وزن یک جسم در ارتفاع h از سطح زمین: از رابطه مقابل بدست می آید: 5

نکته:شتاب گرانش در سطح زمین را می توان به شکل زیر بدست آورد: نکته: در فاصله h از سطح زمین شتاب گرانش برابر است با: مثال-وزن جسمی در ارتفاع h=2r e از سطح زمین چند برابر وزن این جسم در سطح زمین است 1 16 مثال-وزن جسمی در ارتفاع h از سطح زمین وزن آن جسم در سطح زمین است.ارتفاع h چند برابر شعاع زمین است 6

مثال-شتاب گرانش در سطح سیاره ای که جرم و حجم آن 8 برابر جرم و حجم زمین است چند برابر شتاب گرانش در سطح زمین است نیروی کشسانی فنر:اگر فنری را بکشیم یا فشرده کنیم نیروی بازگرداننده ای را تولید می کند که این نیرو طبق قانون هوک با تغییر طول فنر نسبت مستقیم دارد و از رابطه زیر بدست می آید: توجه:ثابت فنر ضریبی است که به جنس فنر و تعداد حلقه ها و طول اولیه ی فنر بستگی دارد. نکته:نمودار تغییرات نیروی کشسانی فنر بر حسب تغییر طول فنر به شکلهای زیر است: نکته:اگر به انتهای فنری وزنه ای به جرم m بیاویزیم و وزنه را به آرامی پایین بیاوریم تا در حال تعادل قرار گیرد در این حالت نیروی کشسانی فنر با وزن وزنه برابر است: مثال-طول فنری 22 سانتیمتر است.اگر به انتهای آن وزنه ای به جرم 522 گرم بیاویزیم طول فنر به 25 سانتیمتر می رسد.ثابت فنر چند است 7

مثال-اگر به انتهای فنری وزنه 122 گرمی بیاویزیم طول فنر به 15 سانتیمتر و اگر وزنه 522 گرمی بیاویزیم طول فنر به 22 سانتیمتر می رسد.ثابت فنر و طول اولیه ی آنرا حساب کنید. مثال-فنری به طول 32cm را به نقطه ای آویزان کرده و به انتهای آن کفه ای می بندیم.اگر در کفه وزنه ی 122 گرمی قرار دهیم طول فنر 36cm می شود و اگر وزنه ی 222 گرمی قرار دهیم طول فنر 42cm می شود.جرم کفه چند گرم است به هم بستن فنرها: الف- بهم بستن سری یا متوالی:در این به هم تغییر طول فنرها است.ثابت معادل به شکل زیر بدست می آید: بستن نیروی کشسانی همه ی فنرها یکسان بوده و تغییر طول کل برابر مجموع مثال-اگر فنری با ثابت K را از وسط نصف کنیم ثابت هر قسمت از فنر چند K خواهد شد 8

نکته:اگر ثابت فنری K باشد در اینصورت از طول فنر دارای ثابتی معادل خواهد بود. ب-بهم بستن موازی فنرها:در این حالت نیروی کشسانی کل برابر مجموع نیروهای کشسانی فنرها بوده یکسان است.ثابت معادل برابر است با: و تغییر طول فنرها نیروی عمودی تکیه گاه:واکنش نیرویی است که جسم به تکیه گاه خودش وارد می کند.این نیرو عمود بر تکیه گاه بر جسم وارد می شود و با حرف N نشان داده می شود. مثال-در شکل های زیر نیروی عمودی تکیه گاه چقدر است 9

حرکت آسانسور:در آسانسور برابر نباشد. نیروی عمودی تکیه گاه وارد بر شخص وزن ظاهری نام دارد که ممکن است با وزن واقعی) mg ( 11

مثال-شخصی به جرم 52 کیلوگرم داخل آسانسوری قرار دارد وزن ظاهری شخص را در هر حالت حساب کنید:الف-آسانسور با سرعت ثابت 3 m/s باال رود. ب-آسانسور با شتاب ثابت 2 باال رود. ج-آسانسور با شتاب ثابت 2 پایین رود. د-آسانسور هنگام باال رفتن با شتاب ثابت متوقف شود.ه- آسانسور هنگام پایین رفتن با شتاب ثابت 1 متوقف شود. 1 22 وصل کرده و فنر را از سقف یک آسانسور مثال-وزنه ای به جرم 2 Kg را به انتهای فنری به طول 12 سانتیمتر و ثابت آویزان می کنیم.طول فنر در حالت به چند cm می رسد الف-آسانسور ساکن است. ب- آسانسور با سرعت ثابت 4m/s باال رود. ج- آسانسور با شتاب ثابت 2 باال رود. د- آسانسور با شتاب ثابت 2 پایین رود. 11

نیروی اصطکاک :این نیرو بین سطوح تماس ایجاد شده و به دو دسته اصطکاک ایستایی و اصطکاک جنبشی تقسیم می شود. نیروی اصطکاک ایستایی:مطابق شکل )1( جسمی را در نظر می گیریم که نیروی افقی F 1 بر آن واردشده و جسم ساکن است.پس باید نیرویی خالف جهت به جسم وارد شده باشد که این نیرو همان اصطکاک ایستایی ( s1 f( است: در شکل ) 2 (نیروی افقی را تا مقدار F 2 افزایش می دهیم ولی جسم هنوز ساکن است.پس نیروی اصطکاک ایستایی نیز تا مقدار f s2 افزایش می یابد: در شکل )3( نیروی افقی را تا مقدار F 3 افزایش می دهیم و جسم در آستانه ی حرکت قرار می گیرد.در این حالت نیروی اصطکاک ایستایی به بیشترین مقدار خود می رسد که آنرا با f s max نشان می دهیم: پس تا وقتی که جسم ساکن است با افزایش نیروی افقی F نیروی اصطکاک نیز افزایش یافته و در آستانه ی حرکت به بیشترین مقدار خود می رسد. نیروی اصطکاک آستانه ی حرکت با نیروی عمودی تکیه گاه متناسب است و از رابطه ی زیر بدست می آید: 12

نکته:ضریب اصطکاک ایستایی به جنس سطوح تماس و صافی و زبری آنها بستگی دارد. نیروی اصطکاک جنبشی: اگر جسم در حال حرکت باشد اصطکاک آن با سطح تماس از نوع جنبشی است نیروی عمودی تکیه گاه متناسب بوده و از رابطه ی زیر بدست می آید: ( k f (.این نیرو نیز با نکته:شرط وجود اصطکاک وجود نیروی عمودی تکیه گاه است در غیر اینصورت اصطکاک ایجاد نمی شود. مثال-در شکل مقابل ضریب اصطکاک جنبشی جسم با دیواره ها 2/2 است.شتاب حرکت جسم چقدر است مثال- جسمی به جرم 12 کیلوگرم را روی سطح افقی با نیروی 36 N می کشیم. اگر ضریب اصطکاک جنبشی بین جسم و سطح تماس 2/25 باشد شتاب حرکت جسم چقدر است 13

مثال- جسمی به جرم 3 کیلوگرم با نیروی افقی 42 N روی سطح افقی کشیده میشود. اگر سرعت جسم در مدت دو ثانیه از 4 m/s به 24 m/s برسد نیروی اصطکاک و ضریب اصطکاک جنبشی بین جسم و سطح افقی را حساب کنید. مثال- جسمی به جرم 12 کیلو گرم با نیروی F 122= N که با راستای افقی زاویه 33 درجه می سازد روی یک سطح افقی به 1 ضریب اصطکاک جنبشی 4 کشیده می شود. شتاب حرکت جسم و جابجایی جسم پس از 2 ثانیه چقدر است مثال- اتومبیلی با سرعت 32 km/h روی سطح افقی حرکت می کند راننده موتور را خاموش می کند اگر ضریب اصطکاک جنبشی 2/2 باشد اتومبیل پس از طی چه مسافتی متوقف می شود 14

مثال- بوسیله فنری با ثابت 82 N/m وزنه 4 کیلوگرمی را مطابق شکل با شتاب 1/5 m/s 2 می کشیم. اگر ضریب اصططکاک بطین جسم و سطح 2/25 باشد افزایش طول فنر چند سانتی متر است مثال-مطابق شکل جسمی به جرم 2 Kg را با نیروی افقی F روی دیوار قائمی نگه داشته ایم. اگطر ضطریب اصططکاک ایسطتایی بطین جسم و دیوار 2/2 باشد حداقل نیروی F چقدر باشد تا جسم نیفتد مثال-جسمی به جرم 4 Kg روی سطح افقی تحت تاثیر نیروی افقی F با سرعت ثابت 5 m/s حرکت می کند. اگر F قطع شود جسم پس از طی مسافت 4 متر متوقف میشود. F چند نیوتن است 15

مثال- در شکل مقابل اصطکاک ارابه با سطح افقی ناچیز است و ضریب اصطکاک ایستایی جسم m با سطح ارابه µ s است.ارابه حداقل با چه شتابی حرکت کند تا جسم نیفتد مثال-در شکل مقابل ضریب اصطکاک ایستایی بین دو قطعه 2/5= s µ است ولی سطح افقی اصطکاک ندارد.کمترین مقدار F چقدر باشد تا از لغزیدن جرم m روی M جلوگیری کند )M=42Kg و m=12kg) 16

مثال-در شکل مقابل اصطکاک وزنه ی m 1 با سطح افقی ناچیز است و ضریب اصطکاک ایستایی بین دو وزنه برابر 2/2 است.الف-حداکثر F چقدر باشد تا m 1 روی F=4N نلغزد ب- نیروی اصطکاک بین وزنه ها را حساب کنید. ج اگر m 2 باشد نیروی اصطکاک بین دو وزنه چقدر است )m 2 =2Kg و m 1 =4Kg) مثال-در مثال قبل اگر F=8N و ضریب اصطکاک جنبشی بین دو وزنه 2/1 باشد شتاب حرکت هریک از وزنه ها و نیروی اصطکاک بین دو وزنه را حساب کنید. 17

مثال- در شکل مقابل اصطکاک وزنه ی m 1 با سطح افقی ناچیز است و ضریب اصطکاک ایستایی بین دو وزنه برابر 2/2 است.الف-حداکثر F چقدر باشد تا m 1 روی m 2 نلغزد ب- نیروی اصطکاک بین وزنه ها را حساب کنید. )m 2 =3Kg و m 1 =5Kg) و =2/5 K µ مثال-در شکل مقابل 2/6= s µ و جرم جسم 22Kg است.الف-نیروی اصطکاک وزنه با سطح افقی چقدر است ب- F چقدر باشد تا جسم در آستانه ی بلند شدن از زمین باشد 18

نیروی کشش نخ نیروی کشش یک نخ در هر نقطه برابر است با نیرویی که در آن نقطه باید به نخ پاره شده وارد شود تا نخ وضعیت قبلی خود را بدست آورد.کشش نخ با حرف T نشان داده می شود.برای یک نخ همگن با جرم ناچیز کشش نخ در تمام نقاط نخ یکسان است. مثال-یک طناب از دو طرف در دست دو نفر قرار دارد.اگر هریک از این دو نفر طناب را با نیروی 222 نیوتون بکشند نیروی کشش طناب چقدر است مثال- در شکلهای زیر اصطکاک ناچیز است.شتاب حرکت وزنه ها و نیروی کشش نخ ها را حساب کنید. 19

مثال-در شکل مقابل 2/2= µ K است.شتاب حرکت وزنه ها و نیروی کشش نخ را حساب کنید. 21

مثال-در شکل مقابل اختالف کشش نخ در طرفین وزنه ی B برابر 12 نیوتون است.شتاب حرکت وزنه ها و جرم M چقدر است )µ K و =2/1 m B =5Kg( مثال در شکل مقابل اختالف نیروهای F و 42N برابر T 1 و ضریب اصطکاک کلیه ی سطوح 2/5 است شتاب حرکت وزنه ها و کشش T 2 چقدر است 21

مثال-در شکلهای زیر W A 5N= و W B 12N= و ضریب اصطکاک کلیه ی سطوح 2/2 است.حداقل نیروی F برای اینکه جسم B از زیر جسم A کشیده شود چند نیوتون است مثال- )تجربی 33( 22

ماشین آتوود دستگاهی مطابق شکل ماشین آتوود نام دارد.با فرض ناچیز بودن جرم قرقره و نخ و اصطکاک شتاب حرکت وزنه ها به شکل زیر بدست می آید: مثال- در شکل مقابل شتاب حرکت وزنه ها و کشش نخ ها چقدر است 23

مثال-در شکل مقابل نیرویی که وزنه ی m 1 بر وزنه ی m 2 وارد می کند و همچنین کشش نخ متصل به سقف را حساب کنید. مثال-در شکل مقابل وزنه به جرم M در حال تعادل است. الف- T چند برابر M است ب-نیروی F چند برابر وزن جسم است 24

مثال-در شکل مقابل اگر جرم نخ و قرقره و اصطکاک ناچیز باشد 1 نسبت نیروهای کشش کدام است )ریاضی 32( 1/5)1 2)2 2/5)3 3)4 مثال- در شکل مقابل جرم نخ و قرقره و اصطکاک ناچیز است اگر دستگاه از حال سکون رها شود وزنه ی 2 کیلوگرمی در مدت 2/55 ثانیه چند سانتیمتر جابجا می شود )ریاضی 34( 23/5)1 42/5)2 55)3 85)4 25

سطح شیبدار اگر جسم روی سطح شیبدار قرار گیرد وزن جسم به دو مولفه تجزیه می شود.یکی موازی سطح شیبدار و دیگری عمود بر سطح شیبدار.در اینصورت شکل نیروها بصورت مقابل است: محاسبه ی شتاب سقوط جسم روی سطح شیبدار:اگر جسمی روی سطح شیبدار رها شده یا به طرف پایین سطح پرتاب شود شتاب پایین آمدن آن به شکل زیر بدست می آید: مثال-اگر زاویه شیب سطح بدون اصطکاک 2 برابر شود شتاب سقوط آن چند برابر می شود 26

محاسبه ی شتاب باال رفتن جسم روی سطح شیبدار:اگر جسمی از پایین سطح شیبدار به طرف باال پرتاب شود شتاب باال رفتن جسم به شکل زیر بدست می آید: نکته:اگر سطح شیبدار اصطکاک نداشته باشد سطح دارای اصطکاک باشدچون 1 2 1 2 است پس t 2 <t 1 است پس زمان رفت و برگشت جسم یکسان است ولی اگر است یعنی زمان رفت کمتر از زمان برگشت می باشد.این نکته در مورد حرکت در راستای قائم نیز صدق می کند یعنی در شرایط غیر خآل اگر جسمی را بطرف باال پرتاب کنیم زمان پرتاب تا اوج کمتر از زمان بازگشت به نقطه ی پرتاب است. نکته:اگر زاویه سطح شیبدار را به تدریج افزایش دهیم تا جسم در آستانه ی حرکت قرار گیرد در اینصورت ضریب اصطکاک ایستایی برابر است با : 27

نکته:اگر جسمی با سرعت ثابت روی سطح شیبدار بطرف پایین حرکت کند ضریب اصطکاک جنبشی برابر است با: ندارد. نکته:شتاب حرکت جسمی که روی سطح شیبدار بطرف پایین می لغزد یا بطرف باالی سطح پرتاب می شود به جرم جسم بستگی مثال-جسمی را با سرعت V 2 روی سطح شیبداری با زاویه 32 درجه بطرف باال پرتاب می کنیم تا پس از توقف بطرف پایین برگردد.اگر بزرگی شتاب باال رفتن 2 برابر بزرگی شتاب پایین آمدن جسم باشد نیروی اصطکاک چند برابر وزن جسم است 28

مثال- در شکل مقابل الف- F چقدر باشد تا جسم با شتاب ثابت 2 باال 2 رود ) 2/3 = )µ k ب- F چقدر باشد تا جسم در آستانه ی حرکت رو به پایین قرار گیرد ) 2/4 = µ( s ج- F چقدر باشد تا جسم در آستانه ی حرکت رو به باال قرار گیرد 29

مثال- در شکل مقابل m 2 با سطح شیبدار اصطکاک ندارد و ضریب اصطکاک m 1 با سطح افقی 2/15 است.اگر F=82N باشد الف-شتاب حرکت وزنه ها و نیروی کشش نخ چقدر است چقدر باشد تا وزنه ی m 2 در آستانه ی حرکت ب-حداقل F رو به باال قرار گیرد ) µs=2/2 ( 3 مثال- از پایین سطح شیبداری با ضریب اصطکاک و زاویه 32 جسمی را با سرعت 12m/s بطرف باال پرتاب می کنیم.الف- 5 حداکثر چه مسافتی را روی سطح باال می رود ب-زمان باال رفتن جسم روی سطح چقدر است ج-چقدر طول می کشد تا جسم از باالی سطح دوباره به پایین سطح برگردد 31

مثال-در شکل مقابل اصطکاک ناچیز است.نیرویی که وزنه ی A به وزنه ی B وارد می کند چقدر است )m A =3Kg و m B =2Kg( مثال- از باالی سطح شیبداری بدون اصطکاک یکبار جسمی را رها می کنیم و بار دیگر از همان ارتفاع جسم را رها می کنیم تا سقوط آزاد کند.سرعت برخورد دو جسم به زمین و زمان رسیدن آنها به زمین را با هم مقایسه کنید. 31

مثال- جسمی به جرم mروی سطح شیبداری با زاویه α با سرعت ثابت اولیه 2 2 2 )1 بطرف پایین می لغزد.اگر این جسم با همان سرعت بطرف باالی سطح پرتاب شود چه مدت طول می کشد تا روی سطح متوقف شود )تجربی 34( 2 )2 2 2 )3 2 2 )4 نکته:منظور از نیروی عمودی سطح همان N است ولی نیروی سطح بر جسم برآیند نیروهای N و اصطکاک است که با حرف R نشان داده می شود: مثال-جسمی به وزن 6 نیوتون روی سطح افقی دارای اصطکاکی با نیروی 8 نیوتون با سرعت ثابت کشیده می شود.اندازه نیروی واکنش سطح چند نیوتون است 32

µ K =2/6 مثال-در شکل مقابل µs=2/8 و و جرم جسم 4 کیلوگرم است.نیروی وارد بر جسم از طرف سطح چند N است مثال- جسمی به جرم m روی سطح شیبداری با زاویه α ساکن است.نیروی واکنش سطح بر جسم کدام است mgcosα)1 mgsinα)2 mg)3 mg + 1)4 مثال- جسمی به جرم 4Kg از پایین یک سطح شیبدار بدون اصطکاک با زاویه شیب α با سرعت 4m/s بطرف باالی سطح پرتاب می شود.اگر سرعت جسم پس از 2/5 ثانیه به صفر برسد بزرگی نیرویی که جسم به سطح وارد می کند چند نیوتون است )ریاضی 34( 24)2 6)4 32)1 8)3 33

تعادل اجسام شرط تعادل یک جسم اینست که برآیند نیروهای وارد بر آن در هر دو راستای X وY صفر باشد: نکته:اگر سه بردار و و مطابق شکل بر یک نقطه وارد شوند و برآیند آنها صفر باشد در اینصورت رابطه ی زیر برقرار است: مثال-در شکل مقابل جسم در تعادل است.نیروی کشش طنابی که قرقره را به سقف وصل می کند چند نیوتون است 34

مثال-در شکل مقابل واکنش دیوار قائم روی جسم کروی R و واکنش سطح شیبدار روی جسم 'R است.اگر اصطکاک ناچیز بوده و جرم جسم 42Kg باشد مقادیر R و 'R به ترتیب از راست به چپ کدام است )تجربی 34( 1(322 و 522 322)2 و 422 3 (صفر و 522 4 (صفر و 422 تکانه است: حاصلضرب جرم جسم در سرعت آنرا تکانه )اندازه حرکت( می نامند.تکانه را با حرف P نشان میدهند که یک کمیت برداری قانون دوم نیوتن بر اساس مفهوم تکانه:تغییر تکانه ی یک جسم در واحد زمان برابر است با برآیند نیروهای وارد بر جسم: 35

نکته:اگر در بازه ی زمانی Δt تکانه ی جسم به اندازه ی ΔP تغییر کند برآیند نیروها برابر است با: نکته:اگر برآیند نیروهای وارد بر جسم صفر باشد تکانه جسم ثابت می ماند)اصل پایستگی تکانه(: نکته:طبق رابطه ی F=m Δt هرچه کمتر باشد F بیشتر است و بر عکس.مثال وقتی با پا به توپ ضربه می زنیم چون توپ نرم است Δt خیلی کوچک نیست در نتیجه نیروی F مقدار زیادی نخواهد بودولی اگر با پا به سنگ ضربه بزنیم چون Δt خیلی کوچک است نیروی زیادی به پای ما وارد می شود. مثال-گلوله ای به جرم 122 گرم با سرعت 12m/s به زمین برخورد کرده و با سرعت 8m/s از زمین بطرف باال برمی گردد.اگر این تغییر سرعت در مدت 2/21 ثانیه انجام شده باشد نیروی متوسطی که از طرف زمین به جسم وارد می شود چقدر است نکته:سطح زیر نمودار نیرو زمان برابر تغییر تکانه ی جسم می باشد: 36

مثال-جسمی به جرم 3Kg از حال سکون تحت تاثیر نیرویی که تغییرات آن با زمان به شکل مقابل است حرکت می کند.تکانه ی جسم در لحظه ی t=22s چند واحد SI است مثال-در مثال قبل اگر سرعت اولیه ی جسم 12 متر بر ثانیه باشد سرعت جسم در لحظه ی t=22s چقدر است نکته:رابطه ی بین انرژی جنبشی و تکانه به شکل های زیر است: نکته:اگر تکانه ی دو جسم با هم برابر باشد می توان نوشت: 37

مثال- معادله ی تکانه ی جسمی در SI بصورت - 8 2 =6 2 لحظه ی t=1s چقدر است است.اگر جرم جسم 2 کیلوگرم باشد سرعت جسم در مثال-معادله ی تکانه ی جسمی در SI بصورت 3 (1 2) 2 است.بزرگی نیروی وارد بر جسم در لحظه ی t=1s چند نیوتون است 38

حرکت دایره ای در این حرکت مسیر حرکت یک دایره است که این دایره می تواند روی صفحه ی افقی یا قائم باشد. سرعت زاویه ای متوسط:عبارتست از زاویه ی مرکزی طی شده توسط جسم در واحد زمان و برابر است با: سرعت زاویه ای لحظه ای:عبارتست از سرعت زاویه ای متحرک در هر لحظه از زمان و برابر است با حد سرعت زاویه ای متوسط وقتیt Δ به سمت صفر میل کند: حرکت دایره ای یکنواخت:در این حرکت متحرک در زمانهای یکسان قوس های یکسان از دایره را طی می کند.در این حرکت سرعت زاویه ای متوسط در تمام بازه های زمانی با سرعت زاویه ای لحظه ای برابر است و اندازه ی سرعت زاویه ای ثابت است: است: نکته:نمودار تغییرات مکان زاویه ای بر حسب زمان یک خط راست شیبدار است که شیب این خط همان سرعت زاویه ای متحرک 39

دوره ی تناوب:عبارتست از مدت زمان یک چرخش کامل دایره توسط جسم.دوره تناوب با حرف T نشان داده شده و واحد آن ثانیه است. بسامد)فرکانس(:عبارتست از تعداد دورهای کاملی که متحرک در مدت یک ثانیه طی می کند.بسامد با حرف f نشان داده شده و یکای آن هرتز است: نکته:اگر متحرک در مدت t ثانیه تعداد n دور کامل دایره را طی کند دوره تناوب از رابطه ی زیر بدست می آید: نکته:اگر متحرک یک دور کامل دایره را طی کند در اینصورت داریم: سرعت خطی در حرکت دایره ای یکنواخت:عبارتست از اندازه ی قوسی از دایره که در واحد زمان توسط متحرک طی می شود: نکته:بردار سرعت خطی در هر نقطه بر دایره ی مسیر مماس است. 41

نکته:برای تمام نقاط واقع بر روی یک صفحه دایره ای در حال چرخش سرعت زاویه ای یکسان است ولی سرعت خطی یکسان نیست: شتاب در حرکت دایره ای یکنواخت:در این حرکت اندازه ی سرعت خطی ثابت است ولی چون جهت آن تغییر می کند بنابر این شتاب ایجاد میشود که این شتاب همواره به سمت مرکز دایره است و شتاب مرکزگرا نام دارد.اندازه ی شتاب مرکزگرا ثابت است ولی جهت آن در هر لحظه تغییر می کند پس حرکت دایره ای یکنواخت حرکتی است شتابدار با شتاب متغیر.شتاب مرکز گرا از روابط زیر بدست می آید: دینامیک حرکت دایره ای یکنواخت:چون جهت شتاب به سمت مرکز دایره است پس جهت نیرو نیز به سمت مرکز بوده و نیروی مرکزگرا نام دارد و برابر است با: دایره توجه:نیروی مرکزگرا نیروی مستقلی نیست و باید به طریقی مانند کشش نخ یا اصطکاک یا وزن و... تآمین شود.مثال اگر گلوله ای را به یک نخ وصل کرده و بچرخانیم کشش نخ همان نیروی مرکزگرا خواهد بود. مثال-جسم کوچکی در فاصله ی r از مرکز یک دیسک افقی در حال چرخش به ضریب اصطکاک ایستایی µ s قرار دارد.دیسک را حداکثر چند دور در ثانیه بچرخانیم تا جسم روی سطح آن نلغزد 41

مثال-شخصی به جرم m داخل یک استوانه ی تو خالی قائم به شعاع r قرار دارد و استوانه حول محور قائم دوران می کند.استوانه را حداقل با چه سرعت خطی بچرخانیم تا اگر ضمن چرخش آن کف استوانه را برداریم شخص نیفتد مثال-اتومبیلی به جرم 2 تن با سرعت ثابت 22m/s از روی پلی عبور می کند.نیروی عمودی تکیه گاه وارد بر آنرا در هر حالت حساب کنید الف-پل مسطح باشد ب- پل محدب به شعاع 122 متر باشد ج- پل مقعر به شعاع 122 متر باشد. 42

مثال-مطابق شکل جسمی به جرم M روی سطح میز افقی و بدون اصطکاک قرار دارد و به آن نخی متصل است و سر دیگر نخ از سوراخ وسط میز عبور کرده و به آن وزنه ی m متصل است.میز را چند دور در ثانیه بچرخانیم تا وزنه ی m باال یا پایین نرود مثال-نسبت سرعت خطی دو نقطه از سطح زمین که عرض جغرافیایی آنها به ترتیب 32 و 62 است چقدر است 43

مثال-شعاع پیچ یک جاده افقی r و ضریب اصطکاک ایستایی آن µ s است.بیشینه ی سرعتی که یک اتومبیل در این پیچ می تواند داشته باشد تا تعادلش به هم نخورد چقدر است مثال-در شکل مقابل وزنه به جرم m توسط نخ سبکی به سقف آویزان است.به آن سرعت اولیه ای می دهیم و جسم بطور یکنواخت روی دایره ای حول نقطه ی c می چرخد.شتاب مرکزگرای جسم چقدر است مثال-در شکل مثال قبل اگر طول نخ L باشد ثابت کنید کشش نخ از رابطه ی 2 مخروطی می نامند( بدست می آید.)این آونگ را آونگ 44

مثال- ذره ای حرکت دایره ای یکنواخت در صفحه ی xoy در جهت پاد ساعتگرد انجام می دهد و دوره ی حرکتش 4 ثانیه است.اگر در یک لحظه بردار شتاب ذره 2 2 باشد 1/5 ثانیه بعد بردار شتاب ذره کدام است )ریاضی 34( 2 2 )1 2 2 )2 2 2 )3 2 2 )4 ω 3 2 مثال-گلوله ای در یک مسیر دایره ای حرکت می کند و سرعت زاویه ای آن در SI لحظه ی 2=t چند ثانیه طول می کشد تا گلوله یک دور کامل طی کند )تجربی 34( بصورت است.پس از 2 )1 3 1)2 2)3 2)4 45

مثال- )ریاضی 33( حرکت در پیچ جاده در پیچ جاده برای تامین اصطکاک مورد نیاز و افزایش سرعت خطی و حفظ تعادل اتومبیل شیب عرضی ایجاد می کنند که به شکل زیر بدست می آید: 46

مثال- موتور سواری با سرعت 12m/s نلغزد باید چند درجه موتور خود را منحرف کند به پیچ یک جاده افقی به شعاع 3 12 متر می رسد و می خواهد دور بزند. برای اینکه مثال-اتومبیلی در حال دور زدن پیچ افقی جاده ای به شعاع 42 متر است.آونگی از سقف اتومبیل آویزان است و در این حالت آونگ با راستای قائم زاویه 33 می سازد.سرعت اتومبیل چقدر است مثال- )ریاضی 32( مثال-در شکل زیر هواپیمایی با سرعت 152 متر بر ثانیه در یک مسیر دایره ای در حال دور زدن است.بال هواپیما با سطح افقی زاویه 33 درجه می سازد.شعاع مسیر چند کیلومتر است )ریاضی 34( 2/3)1 3)2 32)3 322)4 47

حرکت ماهواره ها به دور زمین:مسیر حرکت ماهواره به دور زمین بیضی نزدیک به دایره است.نیروی مرکزگرا همان نیروی گرانش زمین بر ماهواره است.اگر فاصله ی ماهواره از مرکز زمین)مدار حرکت ماهواره( r باشد سرعت خطی ماهواره به شکل زیر بدست می آید: نکته:سرعت خطی ماهواره از رابطه ی زیر نیز قابل محاسبه است: نکته:سرعت خطی ماهواره به جرم آن بستگی ندارد و با جذر فاصله ی آن تا مرکز زمین نسبت عکس دارد: محاسبه ی دوره ی تناوب حرکت ماهواره: مثال ماهواره ای به جرم mدر فاصله r از مرکز زمین با سرعت Vبه دور زمین می چرخد.ماهواره ی دیگری به جرم 2m در فاصله ی 2r از مرکز زمین با سرعت 'V به دور زمین می چرخد.نسبت V/V' چقدر است 48

مثال- ماهواره ای با سرعت 3/3Km/s اضافه شود سرعت آن چند Km/s می شود در فاصله ی r از مرکز زمین بدور زمین می چرخد.اگر 21 درصد به شعاع مسیر آن مثال- اگر شعاع مسیر ماهواره ای 2 برابر شود دوره ی تناوب آن چند برابر می شود نقطه: نکته:ماهواره در هر مداری که باشد شتاب حرکت یا همان شتاب مرکز گرای ماهواره برابر است با شتاب گرانش زمین در آن مثال-اگر شعاع مدار ماهواره ای n برابر شعاع زمین باشد شتاب حرکت ماهواره چند برابر شتاب گرانش در سطح زمین است مثال- شعاع مدار ماهواره ای n برابر شعاع زمین است.نسبت شتاب حرکت ماهواره به شتاب گرانش در آن ارتفاع کدام است 1 )2 1 )1 2 1)4 n 2 )3 49

مثال- اگر شعاع مدار ماهواره ی A دو برابر شعاع مدار ماهواره ی باشد شتاب مرکزگرایA چند برابر Bاست B نکته:نیروی مرکز گرای وارد بر ماهواره در هر نقطه برابر است با وزن ماهواره در همان نقطه که با مجذور فاصله ی ماهواره تا مرکززمین نسبت عکس دارد. مثال- اگر شعاع مدار ماهواره ای 2 زمین است برابر شعاع زمین باشد نیروی مرکز گرای وارد بر آن چند برابر وزن ماهواره در سطح مثال-اگر فاصله ی ماهواره ای از سطح زمین 2 برابر شعاع زمین باشد نیروی مرکز گرای وارد بر آن چند برابر وزن ماهواره در سطح زمین است مثال- اگر نیروی مرکز گرای وارد بر یک ماهواره زمین است 1 16 وزن آن در سطح زمین باشد فاصله ماهواره تا سطح زمین چند برابر شعاع 51